CARRES MAGIQUES A SERIES DISCONTINUES`

1) DEFINITIONS

Si on désigne par:

- N le nombre de cases par côté du carré (ou ordre du carré)

- A le 1er nombre de la série des nombres utilisés et Z le dernier nombre de la dernière série

- R la raison de la série de nombres

- k1; k2; k3 ...... le nombre caractérisant  chaque intervalle entre les séries de nombres qui peut être positif ou négatif

Il y aura N séries de nombres pour un carré d’ordre N; chaque début de série ayant pour premier nombre le dernier de la série précédente + k

on peut créer des carrés magiques de type pair ou impair

2) REGLES A APPLIQUER

- La raison R de chaque série partielle (qui est la même pour toutes les séries partielles) peut être positive ou négative mais non nulle.

Si k1 est négatif sa valeur absolue  doit être supérieure au dernier nombre de la 1 ère série partielle;  sinon on aura certains nombres en double,  et le propre d’un carré magique est que tous les nombres sont différents.

- Il faudra que la valeur des intervalles entre les séries présentent une symétrie

par exemple k1 k2 k2 k1  sinon le carré ne sera pas entièrement magique.

Nous allons illustrer cela par des exemples.                              

2) CARRES DE TYPE IMPAIR

Commençons par le premier carré de ce type qui est le carré d’ordre 3; (N=3)

1er exemple

- 1er nombre A=5

- R=4

- k1=k2=10 (k1 et k2 sont égaux sinon il n’y a pas symétrie)

Tableau des nombres:

  5           31 (+10) 41

  9           27           45

13 (+10) 23           49

On voit que le dernier nombre Z=A+RN(N-1)+2k1=5+(4*3(3-1))+2*10=5+24+20=49

On peut alors construire le carré préliminaire

puis le carré définitif magique

b) Passons à un carré d’ordre 5

Données:

- N=5 et 1er nombre A=3

- 5 séries de 5 nombres de raison R=6, discontinues avec k1=4 et k2=7

-Disposition  k1  k2  k2  k1 soit  4  7  7  4

1ère série de 5 nombres de 3 à 27

2 ème série de 31 (27+4) à 55

3 ème série de 62 (55+7) à 86

4 ème série de 93 (86+7) à 117

5 ème série de 121 (117+4) à 145

On sait que le dernier nombre Z=A+RN(N-1)+2k1+2k2=3+6*5(5-1+2*4+2*7=3+120+8+14

soit Z=3+120+8+14=145

                         Carré préliminaire                                           Carré magique définitif

Autre exemple de carré d’ordre 5 avec raison R négative  et  avec k1 et k2 négatifs

Données:

N=5; R=-6; k1=-4 ; k2=-7; A=-3

Disposition k1  k2  k2  k1 soit -4  -7  -7  -4

1ère série de -3 à -27

2ème série de -31 (-27+(-4)) à -55

3 ème série de -62 (-55+(-7)) à - 86

4 ème série de -93 (-86+(-7)) à -117

5ème série de -121 (-117+(-4)) à -145

                         Carré préliminaire                                                              Carré magique définitif

Autre exemple de carré d’ordre 5 avec raison R positive ; k1 positif et k2 négatif

Données:

N=5, A=3, R=6; k1=4, k2=-7 , disposition 4  -7  -7  4

1ère série 3 à 27

2ème série 31 (27+4) à 55

3ème série 48 (55-7) à 72

4 ème série de 65 (72-7) à 89

5 ème série de 93 (89+4) à 117

                         Carré préliminaire                                              Carré magique définitif

c) Passons à un carré d’ordre 7

Données:

N=7, R=5, A=7, k1=2, k2=-3, k3=-4

Disposition: k1  k2 k3  k3  k2  k1 soit 2  -3  -4  -4  -3  2

Dernier nombre Z=A+RN(N-1)+2k1+2k2+2k3=7+35*6+4+(-6)+(-8)=207

                               Carré préliminaire                                                            Carré magique définitif

) CARRES MAGIQUES DE TYPE PAIR

Comme l’on sait il faut faire le distingo entre carrés pairement pairs et carrés impairement pairs

a) Carrés magiques pairement pairs

Le plus petit carré de ce type est d’ordre 4

On aura 4 séries de 4 nombres de raison R et 3 intervalles k1, k2, k1

Exemple avec les données suivantes:

N=4, R=4, A=7, k1=5; k2=7 et répartition k1  k2  k1

1ère série de 7 à 19

2ème série de 24 (19+5) à 36

3 ème série de 43 (36+7) à 55

4 ème série de 60 (55+5) à 72

On vérifie que le dernier nombre Z=A+RN(N-1)+2k1+k2

Z=7+4*4(4-1)+10+7=7+48 +10+7=72

            

            Carré préliminaire                                  Carré magique définitif

b) Carrés magiques impairement pair

Le plus petit de ce type est d’ordre 6

On aura 6 séries de 6 nombres de raison R et 5 intervalles k1, k2, k1; k2, k1 par exemple pour la symétrie

Exemple avec les données suivantes:

N=6, raison R=-3,  A=18, k1=4, k2=5 dans l’ordre 4  5  4  5  4

On vérifie que le dernier nombre Z=A+RN(N-1)+3k1+2k2=18+(-3)*6(6-1)+12+10             Soit Z=18-90+22=-50

                       Carré préliminaire                                                  Carré magique définitif