Pour débuter prenons un carré d’ordre 3 qui est le plus petit de ce type, avec nombres de 1 à 9
Carré préliminaire
Dans le carré préliminaire : Quand on arrive à la dernière ligne de la première colonne, on commence pour la suivante dans la diagonale descendante et arrivé en bas de cette colonne on continue à la première ligne en descendant , et ainsi de suite.
On obtient la somme magique S dans les lignes seulement.
La dernière ligne sera reportée telle quelle dans la médiane horizontale du carré définitif, donc 5 sera dans la case centrale, et NC = 5.
Dans le carré définitif (qui devient magique) : On complète la diagonale descendante en diminuant vers le haut et en augmentant vers le bas, de façon à avoir cette diagonale en suite naturelle. Ici de 4 à 6
On cherche 4 dans le carré préliminaire, en allant vers la droite on trouve 9, et comme on est en bout de ligne on reprend à la première colonne à gauche où on trouve 2. Ensuite on cherche 6 dans le carré préliminaire, la suite est 8 et 1 avec 8 placé en 1ère colonne car 6 est en bout de ligne.
Pour plus de compréhension prenons un carré d’ordre 7, avec nombres de 1 à 49
Carré préliminaire
Rappelons que l’on commence toujours une colonne dans la diagonale descendante. Sauf pour la première colonne à gauche, on continue en descendant jusqu’à la dernière ligne, puis on reprend la suite à la première ligne en descendant jusqu’à la case avant celle de la diagonale descendante. La dernière ligne est à reporter telle quelle dans la médiane horizontale du carré définitif magique, NC = 25.
Carré définitif magique
Dans le carré définitif on complète la diagonale descendante en diminuant vers le haut et en augmentant vers le bas, de manière à avoir une suite naturelle ( ici de 22 à 28 ). Remarquer que ces nombres figurent dans la médiane verticale du carré préliminaire. On voit que dans ce dernier 22 est suivi par 35, 41, 47, et comme on arrive en bout de ligne, on continue en reprenant à la colonne de gauche la suite 4,10 et 16. Pour 23 la suite est 29,42,48, et comme on est en bout de ligne on reprend à gauche la suite 5, 11 et 17. Et ainsi de suite jusqu’à 28.
On voit que 25 x 7 = 175, donc S = NC x N, de plus, sur la médiane horizontale dans la première colonne on trouve 7 = N nombre de cases par côté du carré magique.
Passons au cas général où le premier nombre de la série est différent de 1
Fixons nous la somme magique S et l’ordre du carré N ou nombre de cases par côté, et à partir de là, construisons le carré magique correspondant à ces deux critères.
Exemple : S = 0 et N = 5
Déterminons le premier nombre a et le dernier nombre z de la série à utiliser.
a + z = 2 S / N = 0
z = a + (N² - 1) = a + 24
2 a = 0 - 24 = -24 donc a = -12 et z = -12 + 24 = 12 donc z = 12
Construisons maintenant le carré préliminaire et le carré définitif magique par la même méthode que précédemment.
Carré préliminaire Carré définitif magique
Autre exemple avec nombres décimaux
Fixons nous S = 1 / N avec N = 5, soit S = 1 / 5 = 0,2
a + z = 2 x 0,2 / 5 = 0,08 et z = a + 24, donc 2a = 0,08 - 24 = -23,92
a = -11,96 et z = -11,96 + 24 = donc z = 12,04
Carré préliminaire Carré définitif magique
Autre exemple avec nombres fractionnaires
Prenons S = -1 et N = 5
a + z = 2 x(-1) / 5 = -2/5 et z = a + 24 = a + 120/5 donc 2a = -2/5 -120/5 = -122/5
a = -61/5 soit -12 1/5 et z = -61/5 + 120/5 = 59/5 donc z = 59/5 soit 11 4/5
Carré préliminaire
Carré définitif magique
Carré définitif magique
Autre exemple avec série de nombres que l’on se fixe, ayant une raison = 1 mais discontinue
Dans ce cas les formules indiquées ne sont plus applicables.
Carré préliminaire
Carré définitif magique
Le nombre central est NC = 113 et 113 x 15 = 1695 = S, donc S = NC x N
( Premier nombre de la série + dernier nombre ) / 2 = NC, ici (1 + 225) : 2 = 113
Le nombre à gauche de la médiane horizontale est 15 = N
Le premier nombre à gauche d’une ligne est égal au dernier de la ligne précédente + 1
Si on se déplace dans le carré à la façon d’un cheval sur un jeu d’échec ( 2 cases à l’horizontale puis une case en biais vers le bas ) on trouve un nombre égal au premier
+ N sauf pour la diagonale descendante partielle partant de 15 (1 à 7).
Par exemple 106 et 121; 93 et 108 etc...
Pour une partie, les diagonales parallèles à la diagonale descendante sont en suite naturelle.
Certaines de ces remarques sont valables seulement avec la méthode Couturier et pour une suite naturelle commençant par 1.
Il reste encore d’autres remarques intéressantes à faire, cherchez les.
Exemples de carrés magiques avec série de nombres ne commençant pas par 1 avec nombres uniquement impairs, et série de nombres uniquement pairs
Raison autre que 1. Toujours avec la même méthode.
Avec 15 à 207 raison 4 avec 16 à 208 raison 4
Exemple avec N = 15 et S = 1695 et premier nombre de la série a = 1
et quelques remarques intéressantes.
On a toujours NC x N = S, 111 x 7 = 777 112 x 7 = 784
La raison dans la diagonale descendante est 4 soit la raison de la série des nombres.
Carrés magiques avec somme magique S égale à un nombre quelconque :
Pour un ordre déterminé N, avec somme magique S divisible par N :
- Si la somme magique S est supérieure ou égale à la somme magique S₁ du carré de même ordre avec série commençant par 1 soit (S>= S₁ - N), la série ne comportera que des nombres nombres positifs ( zéro étant considéré positif)
- Si la somme magique S est comprise entre la somme magique (S₁ - N) et (-S₁ + N) la série comportera des nombres négatifs et positifs.
- Si la somme magique S est inférieure à (- S₁-+N) , la série ne comportera que des nombres nombres négatifs.
Carré définitif magique, nombres et somme S exprimés en 27 ièmes
S = 9/27 = 1/3
Dans le carré définitif on reporte la série de chaque ligne à partir du nombre de la diagonale descendante en allant vers la droite, si on arrive en fin de ligne sans avoir terminé la série, on reprend la suite dans la première colonne à gauche, et on se déplace vers la droite jusqu’à la case avant celle qui est dans la diagonale descendante. On ne fait donc aucun calcul, il s’agit d’une simple lecture et cette méthode est valable quelque soit l’ordre du carré aussi grand soit-il.
- Si la somme magique S n’est pas divisible par N, la série de nombres sera constituée de fractions qui pourront dans certains cas être remplacées par des nombres décimaux ou inversement. Si les nombres ne peuvent s’exprimer que sous forme de fraction, il sera plus aisé de considérer les numérateurs seulement, la somme magique obtenue sera alors à diviser par le dénominateur. Nous allons en donner un exemple ci-après.
Exemple avec S = 1/3 et N = 9
Calculons les extrêmes de la série a et z
a + z = 2 S / N = 2 x 1/3 / 9 = 2/27 et z = a + (N² - 1) = a + 80 = a + 2160/27
2a = 2/27 - 2160/27 = -2158/27 et a = -1079/27
z = -1079/27 + 2160/27 soit z = 1081/27
Carré préliminaire nombres exprimés en 27 ièmes
Ce chapitre est loin d’être exhaustif, il reste beaucoup à dire sur ce sujet, mais comme je l’ai déjà mentionné il s’adresse surtout à des personnes peu férues de mathématiques.
Exposé de la méthode COUTURIER qui permet de résoudre ce type carré sans aucun calcul, et sans limitation du nombre de cases par côté N, par simple lecture, mais en passant d’abord par un carré préliminaire (ou auxiliaire).
Lexique:
Somme magique (certains l’appellent constante magique) : S
Diagonales: celle qui va du coin supérieur gauche au coin inférieur droit est appelée “diagonale descendante”, avec cette méthode elle sera en suite naturelle. Celle qui va du coin inférieur gauche au coin supérieur droit est appelée “diagonale montante”.
Médianes:
Médiane horizontale : ligne passant par la case centrale du carré
Médiane verticale : colonne passant par la case centrale du carré
NC : nombre figurant dans la case centrale du carré.
Carré préliminaire (certains l’appellent auxiliaire): carré de même ordre que le carré magique rempli de différentes façons selon les auteurs. C’est à partir de ce carré que l’on réalise le carré définitif magique.
Avec ma méthode on le remplit en commençant toujours pour chaque colonne dans la diagonale descendante;
Carré définitif : carré rendu magique
Contrairement à l’habitude nous allons commencer par le cas particulier où la série des nombres utilisés commence par 1 en suite naturelle, et qui est en fait le cas le plus répandu.