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b)Carrés magiques mosaïques impairement pairs
Le plus petit carré magique mosaïque de cette catégorie est d’ordre 18 et contiendra 36 carrés magiques normaux d’ordre 3, ou bien 9 carrés magiques d’ordre 6. On peut se faire une idée de la répartition avec le tableau ci-dessous.
Définition :
Les carrés magiques que j’appelle mosaÏques sont des carrés magiques qui contiennent d’autres carrés magiques plus petits de même ordre, disposés à la façon d’un dallage, c’est à dire juxtaposés. Certains les nomment carrés à compartiments.
Comme pour les autres carrés magiques normaux, on a des carrés magiques mosaïques de type pair et impair, nous examinerons ces 2 cas. Dans le type pair il y aura aussi les “pairement pairs” et les “impairement pairs”.
Avec la méthode développée ci-après, il faudra avoir au minimum 3 carrés magiques composants par côté du carré mosaïque, sinon il ne sera pas magique, mais semi-magique.
Le plus petit carré magique composant sera d’ordre 3.
A ) Carrés magiques mosaïques de type impair
Un carré magique mosaïque de ce type contiendra des carrés magiques composants normaux qui sont aussi de type impair.
La somme magique S du carré magique mosaïque sera la même que celle du carré magique normal de même ordre.
Le plus petit carré magique composant étant d’ordre 3, le plus petit carré mosaïque de ce type sera d’ordre 9, et contiendra 9 carrés magiques normaux composants d’ordre 3 (3 par côté).
Si on fait un tableau des possibilités, on a :
Exemple avec carré magique mosaïque d’ordre 9, contenant 9 carrés magiques composants d’ordre 3, avec série de 1 à 81 S = 369.
On fera un tableau en divisant la série des nombres utilisés en tranches de n² nombres,
n étant l’ordre du carré magique composant, et dans une colonne on trouvera le premier nombre de la série a, dans une autre le dernier nombre de la série z de chaque carré composant. Dans une autre colonne nC nombre central du carré composant, et dans une autre colonne sa somme magique Sn.
Ensuite on créera un carré magique avec les sommes magiques Sn et un autre avec les nombres centraux nC, bien qu’il ne soit pas indispensable d’avoir les deux. Ces carrés magiques donneront la répartition des carrés composants dans le carré magique mosaïque.
Tableau pour les carrés d’ordre 3
Carré magique des nombres centraux nC
Carré préliminaire Carré définitif magique
Carré magique des sommes magiques Sn
Carré préliminaire Carré définitif magique
On voit que somme magique des Sn = somme magique des nC x n soit 123x3 = 369
Détail des carrés magiques composants d’ordre 3 avec carré préliminaire et carré définitif
magique dans l’ordre du tableau. Ces carrés magiques seront ensuite placés dans le carré magique mosaïque suivant le carré magique des nC ou des Sn ci-dessus.
Carré magique mosaïque d’ordre 9, comprenant 9 carrés magiques d’ordre 3
S = 369 et NC x N = 41 x 9 = 369
Autre exemple avec carré magique mosaïque d’ordre 15 comprenant 9 carrés composants d’ordre 5
Tableau Carré magique des nC Carré magique des Sn
Le processus de détermination des carrés magiques composants étant le même que ci-dessus, nous ne les détaillerons pas.
1695 est la somme magique du carré magique mosaïque (qui est la même que celle du carré magique normal de même ordre); et 1695 = 339 x 5
Carré magique mosaïque complet d’ordre 15
Autre exemple avec somme magique S du carré magique mosaïque que l’on se fixe à l’avance ainsi que l’ordre du carré N.
Somme magique S = 81, N = 9 comprenant 9 carrés magiques d’ordre 3
a + z = 2 S / N = 2 x 81 / 9 = 18 et z = a + (N² - 1) = a + 80
2a = 18 - 80 = -62 donc a = -31
z = -31 + 80 = 49
Tableau Carré magique des nC Carré magique des Sn
On applique toujours la même méthode
Carré magique mosaïque complet
S = NC x N = 9 x 9 = 81
Autre exemple à titre indicatif : carré magique mosaïque d’ordre 21 comprenant 49 carrés magiques composants d’ordre 3. S = 221 x 21 = 4641
B ) Carrés magiques mosaïques de type pair
Un carré magique mosaïque de ce type contiendra des carrés magiques composants normaux qui sont de type impair ou pair suivant son ordre.
La somme magique S du carré magique mosaïque sera la même que celle du carré magique normal de même ordre.
Comme dit plus haut , il faut distinguer les deux catégories de type pair, les “pairement pairs” pour lesquels N est égal à 4,8,12,16,20,24 etc...et les “impairement pairs” pour lesquels N est égal à 6,10,14,18,22,26, etc...
a) Carrés magiques mosaïques pairement pairs
Le plus petit carré magique mosaïque de cette catégorie est d’ordre 12 et contiendra 16 carrés magiques normaux d’ordre 3, ou bien 9 carrés magiques d’ordre 4. On peut se faire une idée de la répartition avec le tableau ci-dessous.
Le processus sera le même que pour les carrés magiques mosaïques de type impair, mais il n’y a plus de nombre NC, car plus de case centrale.
Commençons par le plus simple:
Carré magique mosaïque d’ordre 12, comprenant 9 carrés magiques normaux d’ordre 4
Tableau Carré magique des sommes magiques des carrés composants
d’ordre 3 (préliminaire et définitif magique)
La somme magique S est 290 x 3 = 870, comme pour le carré magique normal d’ordre 12.
Le remplissage des carrés magiques composants se fait de la même façon que pour les carrés magiques normaux d’ordre 4, c’est à dire que l’on conserve les diagonales, les autres nombres étant permutés symétriquement par rapport au centre du carré.
Carré magique mosaïque complet
Autre exemple avec carré magique mosaïque d’ordre 24 comprenant 64 carrés magiques d’ordre 3
Tableau des nombres utilisés pour les carrés magiques composants
Carré magique des nombres nC des carrés magiques composants à gauche et carré magique des Sn à droite. S = 2308 x n = 2308 x 3 = 6924
Pour le remplissage de ces carrés voir les carrés magiques impairs.
Carré magique mosaïque complet d’ordre 24
Exemple de carré magique mosaïque d’ordre 18, comprenant 9 carrés magiques composants d’ordre 6
Tableau
Carré magique d’ordre 3 des sommes Sn des carrés d’ordre 6 ci-dessous.
Pour le remplissage des carrés magiques composants d’ordre 6 voir la résolution du carré magique normal de même ordre
Carré magique mosaïque d’ordre 18 complet
S = 975 x 3 = 2925
