J’ai appelé carrés magiques mosaïques spéciaux des carrés mosaïques qui sont toujours comme un dallage, mais à la différence des normaux ceux-ci comportent des dalles qui ne sont pas toutes de mêmes dimensions; nous allons examiner le cas où le carré mosaïque comporte une ou plusieurs grandes dalles et des petites dalles, qui sont toujours carrées. Cela revient à dire que ces carrés mosaïques spéciaux comprennent des carrés magiques composants d’ordre différent.


  1. A)Carrés magiques mosaïques spéciaux de type impair

On partira du carré magique mosaïque normal pour réaliser le carré magique mosaïque spécial de même ordre.

Exemple avec un carré magique mosaïque normal d’ordre 15 ci-dessous, comprenant 25 carrés magiques composants d’ordre 3

Prenons le carré central composé des 9 carrés magiques d’ordre 3 qu’il contient, et n’en faisons qu’un seul d’ordre 9, qui sera entouré de 16 carrés magiques d’ordre 3.

Ce grand carré central isolé tel que prélevé dans le carré d’ordre 15, est ci-dessous. Bien que constitué de 9 carrés magiques d’ordre 3, il n’est pas magique tel qu’il est, il va donc falloir le rendre magique.

La série des nombres utilisés dans ce carré est discontinue, cas qui a été examiné dans le chapitre des carrés magiques de type impair

Par la méthode Couturier, on remplit le carré préliminaire, et on obtient en dessous le carré définitif devenu magique avec Sn = 113 x 9 = 1017

Si l’on replace ce carré magique à sa place au centre du carré mosaïque normal d’ordre 15, ce dernier ne sera pas magique, il faut pour le rendre magique disposer différemment les carrés d’ordre 3 qui l’entourent.

Ci-dessous à gauche le carré magique des sommes magiques Sn du carré magique mosaïque normal; et à droite ce carré remanié par permutations, afin que le carré spécial devienne magique. Dans les diagonales, les lignes et les colonnes incomplètes il faut avoir : 1695 - 1017 = 678

Pour mettre en place les carrés d’ordre 3 dans le carré mosaïque spécial, il est plus pratique d’utiliser le carré magique des nombres centraux nC, pour cela on divise par n = 3 les sommes Sn.

                                 Carré des nC




    Carré mosaïque spécial complet

               S = 113 x 15 = 1695

Autre exemple avec Carré magique mosaïque spécial d’ordre 15, avec grande dalle placée dans un angle, qui est un carré magique d’ordre 9, les petites dalles étant des carrés magiques d’ordre 3

Reprenons le carré magique des sommes magiques Sn du carré magique mosaïque normal ci-dessous, et retirons la grande dalle d’ordre 9

De la même façon que pour l’exemple précédent, rendons magique le carré d’ordre 9, voir ci-dessous. Sa somme magique est 936

Les cases vertes du carré d’ordre 9 contiennent 3 nombres qui appartiennent à la diagonale montante du carré d’ordre 15, leur somme est 83 + 107 + 122 = 312. Comme la somme S de la diagonale est 1695, les diagonales montantes des 4 carrés d’ordre 3 qui constituent le complément de la diagonale montante du carré d’ordre 15 auront une somme totale de 1695 - 312 = 1383.

Pour les lignes et colonnes incomplètes  et la diagonale descendante la somme complémentaire est  1695 - 936 = 759

Il faut donc réorganiser la position des carrés magiques d’ordre 3 pour obtenir 1383 et 759.

Ci-dessous ces carrés réorganisés et à droite le carré des nombres centraux nC.

Carré magique mosaïque spécial complet d’ordre 15 S = 1695

  1. B)Carrés magiques mosaïques spéciaux d’ordre pair

Exemple avec carré magique mosaïque spécial d’ordre 16 contenant un carré magique central d’ordre 8, entouré de 12 carrés magiques d’ordre 4

On part du carré magique mosaïque normal de même ordre ci-dessous

Comme pour les carrés de type impair, le carré central d’ordre 8, composé de 4 carrés d’ordre 4 n’est pas magique. On le rend magique de la même façon que pour les carrés impairs. Nous n’allons pas détailler la manière d’y parvenir, pour cela se reporter au chapitre des carrés magiques “pairement pairs”, où le cas d’ordre 8 est traité.

                                                Carré d’ordre 8 rendu magique

Reprenons la répartition des sommes magiques du carré mosaïque normal. Il faut réorganiser la position des carrés pour obtenir une somme de 1028

(2056 - 1028 =  1028) dans les  lignes et les colonnes incomplètes, les diagonales ayant la bonne somme, on conserve les 4 carrés d’angle . A gauche avant réorganisation, à droite après réorganisation.

Carré magique mosaïque spécial d’ordre 16 complet  S = 2056

Autre exemple avec un cas un peu plus complexe de carré “pairement pair”.

Prenons un carré magique mosaïque normal d’ordre 24 et mettons au centre comme ci-dessus un carré d’ordre 8. Cette fois il sera entouré de 2 rangées de carrés magiques d’ordre 4, ce qui on peut le penser, devrait rendre plus ardue la réorganisation du carré des sommes magiques des 32 carrés d’ordre 4.

A gauche carré d’ordre 8 extrait du carré mosaïque normal, à droite rendu magique.

A gauche ci-dessous carré des sommes magiques du carré mosaïque normal, et à droite après réorganisation. La somme à trouver pour les lignes et les colonnes incomplètes est

6924 - 2308 = 4616, Les diagonales ayant déjà ce total, on conservera les 16 carrés d’angle d’ordre 4, il reste donc à remanier les 2 lignes et les 2 colonnes centrales.

Carré magique mosaïque spécial d’ordre 24 complet  S = 6924

Autres styles de dallage magiques

Premier exemple : les dalles ou carrés magiques composants sont de même ordre mais de nature différente (Cela équivaudrait à un dallage avec carreaux de mêmes dimensions mais de matériaux ou de couleurs différentes)


Exemple carré magique mosaïque spécial d’ordre 12 avec S = 870 comprenant 16 carrés magiques d’ordre 3, dont 8 sont remplis avec des nombres impairs et 8 avec des nombres  pairs.

Tableau des nombres utilisés

Carré magique des sommes magiques Sn

Préliminaire et en dessous définitif magique

Carré magique mosaïque spécial d’ordre 12 complet

Exemple avec dallage comprenant des carreaux de 3 dimensions différentes, c’est à dire des carrés magiques composants de trois ordres différents.

Carré magique mosaïque spécial d’ordre 21 avec S = 4641, comprenant un carré magique central d’ordre 9, 4 carrés magiques d’ordre 6 aux 4 coins et 24 carrés magiques d’ordre 3 dans les zones restantes.

Ci-dessous répartition des carrés d’ordre différent à gauche et répartition des sommes magiques Sn des carrés magiques composants d’ordre 3 du carré magique mosaïque normal d’ordre 21 à droite.

Le carré magique central d’ordre 9 a la même somme magique que quand il est seul au milieu du carré mosaïque, c’est à dire 4641 - (582+609+717+744) = 1989

Détermination de la somme magique des 4 carrés situés aux 4 coins :

Leur somme magique est : (4641 - 1989) / 2 = 1326, il s’en suit que ces 4 carrés sont identiques.

Pour les carrés d’ordre 6, de somme magique Sn = 1326, le 1er nombre de la série des nombres utilisés est a = 203,5 et le dernier est z = 238,5 d’après les formules.

A gauche carré préliminaire, à droite carré définitif magique.

Répartition des sommes magiques des carrés d’ordre 3, avant et après réorganisation pour obtenir S = 4641

Sur les 2 premières et les 2 dernières lignes, il faut obtenir un total de

4641 - ( 2 x 1326) = 1989

Pour les lignes au-dessus et en dessous de la médiane horizontale, un total de

4641 - 1989 = 2652

Carré magique mosaïque spécial d’ordre 21 complet

Pour plus de lisibilité prenons le carré des nC

obtenu en divisant les Sn par n (ici 3)

Autre exemple de carré magique mosaïque spécial d’ordre 24 et de somme magique S = 6924

obtenu par la même méthode.